Problème de couverture de charge

Compagnie de Bus

Bus optimisation de planification


1. Données

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2. Le Problème

Une compagnie de bus souhaite définir sa politique d’embauche sur les 6 prochains mois afin de couvrir ses nouveaux besoins suite à la mise en place d’une nouvelle ligne Bordeaux <> Paris.

Compte tenu des trajets prévus, une équipe de Data Analysts a réalisé une étude statistique en amont de ce projet de Recherche Opérationnelle, pour calculer les besoins en chauffeurs, exprimés en heures de conduite.

table

L'embauche d'un conducteur de bus est toujours suivie d'un mois de formation durant lequel les nouveaux embauchés ne peuvent assurer leur service régulier. Cette formation est assurée par des conducteurs expérimentés.

La convention collective de la compagnie stipule que chaque nouveau conducteur est pris en charge par un conducteur expérimenté, durant un mois. Cette prise en charge dispense le conducteur expérimenté de 80 heures de conduite durant le mois de formation.

Les conducteurs expérimentés effectuent au plus, 140 heures de conduite par mois. Au début du mois de janvier, la compagnie emploie 55 conducteurs qui sont tous expérimentés.

Dans cette étude, on fait l'hypothèse que le licenciement d'un salarié est impossible. En revanche, l’analyse des dernières années montre que chaque mois 7 % du personnel formé quitte la société.

Le coût d'un conducteur expérimenté est de 3 200 € par mois et un conducteur en formation 1 800 € par mois.

On cherche à proposer une politique d'embauche et de formation des conducteurs pour les 6 mois à venir.

Nous cherchons à proposer une modélisation linéaire de ce problème de couverture de charge ainsi qu’un outil d’aide à la décision dans XLOPTIM.

3. Modélisation

Nous proposons une modélisation en 5 étapes :

Étape #1 : Dimensions et indices du problème

  • t : 1 .. 6 : les mois de l'année

Étape #2 : Données du problème

  • Besoin total de chauffeurs en nombre d'heures au mois t (7000, 6500, 8500…) :

$$B_t$$

  • Taux de départ mensuel : 7%
  • Nombre d'heures de formation : 80 heures
  • Nombre d'heures de travail mensuel par conducteur : 140 heures
  • Coût d'un conducteur expérimenté : 3 200 €
  • Coût d'un nouveau conducteur : 1 800 €
  • Nombre initial de conducteurs : 55

$$C_1$$

Étape #3 : Identification des variables de décision

  • Nombre de recrutements mensuels :

$$R_t$$

  • Nombre de conducteurs expérimentés de février à juin (Variables de décision redondantes) :

$$C_t$$

Étape #4 : Contraintes à respecter

  • Non négativité des variables de décisions :

$$C_t \geqslant0$$ $$R_t \geqslant0$$

  • Couvrir le besoin en chauffeurs exprimés en heures de conduite chaque mois :

$$\forall t \in [1..6], (140-80).R_t+140.(C_t-R_t) \geqslant B_t$$

  • Calcul de l’effectif présent en t (récurrence) :

$$\forall t \in [2..6], C_t = C_{t-1} + R_{t-1}-7\%.C_{t-1}$$

Étape #5 : Objectif du problème

  • L’objectif ici est de minimiser le coût salarial total sur les 6 mois :

$$Min \sum_{t=1}^{6}1\,800.R_t+3\,200.C_t$$

4. Modélisation du problème avec XLOPTIM

xloptim01

Définition de la variable de décision principale (avec ses bornes) :

xloptim02

Ajout de la contrainte sur le besoin en couverture de charge :

xloptim03

Fixation de l’objectif :

xloptim04

Calcul de la solution optimale :

xloptim05

qui donne la valeur de la fonction objectif optimale suivante :

xloptim06

5. Conclusion

Ce résultat signifie qu’en décidant d’opter pour cette stratégie de recrutement, le coût total de l’entreprise sera de 1 448 647 €. Le résultat affiché est optimal et obtenu après 2 secondes.

Cette étude de cas vous a permis de découvrir un exemple de problème de couverture de charge. Ils sont fréquents dans les entreprises de transport, dans les usines ou encore dans la restauration. Vous pouvez faire varier la taille du problème et modifier les hypothèses pour obtenir différentes solutions. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions suite à l'utilisation de notre solver XLOPTIM®.