Problème de planification de production

Planification de la production dans une société de drones

drone


1. Données

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2. Le Problème

L'entreprise OptiDrones est spécialisée dans la production de drones pour les particuliers et les professionnels.

L'équipe de planification a préparé des prévisions de ventes mensuelles pour le modèle de drones Super21 pour les 6 premiers mois de l’année :

table

L'analyse des données issues de la chaîne de production permet d'estimer que le temps moyen d'assemblage d’un Super21 est de 3,5 heures. L’atelier d'assemblage fonctionne 7,5 heures par jour en temps normal et, chaque mois, comprend en moyenne 22 jours ouvrables.

OptiDrones peut augmenter sa production en faisant faire des heures supplémentaires, dans la limite de 25 heures par ouvrier et par mois. Les employés sont payés 1 850 € par mois pour le travail en temps normal et 15 € par heure supplémentaire.

OptiDrones peut, chaque mois, effectuer deux actions distinctes pour renouveler son personnel. Soit embaucher un nouveau salarié, ce qui représente un coût de 2 500€ le mois concerné. Soit transférer un ouvrier dans un autre atelier, ce qui entraîne un coût de 800€ en raison des procédures associées à ce changement d'emplacement.

La convention collective stipule que l'atelier de montage des transformateurs OptiDrones doit toujours employer au moins 10 personnes. Compte tenu de sa taille, il ne peut pas accueillir plus de 50 personnes en même temps.

Il est possible de stocker des drones. Le coût de stockage d'un drone est estimé à 2 € par mois et par drone. On souhaite conserver en permanence un stock de sécurité de 350 drones, afin d'assurer notamment le service après-vente.

On estime qu'au début de la période concernée, OptiDrones emploie 20 personnes dans l'atelier et qu'elle dispose d'un stock de 600 drones de type Super21.

Nous cherchons à proposer une modélisation linéaire de ce problème de planification de production, ainsi qu’un outil d'aide à la décision dans XLOPTIM.

3. Modélisation

Nous proposons une modélisation en 5 étapes :

Étape #1 : Dimensions et indices du problème

  • t : 1 .. 6 : les mois de l’année

Étape #2 : Données du problème

  • Besoin mensuel en drones (1 200, 2 300, 2 500…) :

$$B_t$$

  • Volume horaire quotidien : 7,5 heures
  • Nombre d'heures par drone : 3,5 heures
  • Nombre de jours ouvrables par semaine : 22 jours
  • Nombre maximum d'heures supplémentaires : 25 heures
  • Salaire mensuel heures normales : 1850 €
  • Salaire par heure supplémentaire : 15 €
  • Frais de location : 2 500,00 €
  • Frais de transfert : 800,00 €
  • Nombre initial d'employés : 20
  • Nombre minimum d'employés : 10
  • Nombre maximum d'employés : 50
  • Coûts de stockage par drone : 2 €
  • Niveau de sécurité du stockage : 350
  • Niveau de stock initial : 600

Étape #3 : Identification des variables de décision

  • Nombre de recrutements mensuels :

$$R_t$$

  • Nombre de transferts mensuels :

$$T_t$$

  • Nombre d'ouvriers présents par mois (Variable redondante) :

$$E_t$$

  • Nombre de drones produits en heures normales :

$$N_t$$

  • Nombre de drones produits en heures supplémentaires :

$$U_t$$

  • Stock de drones en fin de mois (Variable redondante) :

$$S_t$$

Étape #4 : Contraintes à respecter

  • Positivité des variables de décision :

$$R_t \geqslant0,\;T_t \geqslant0,\;E_t \geqslant0,\;N_t \geqslant0,\;U_t \geqslant0,\;S_t \geqslant0$$

  • Écriture de la variable redondante sur les effectifs mensuels :

Le nombre d'ouvriers présents au mois t est égal à ceux du mois t-1 plus les recrutements réalisés au mois t moins les transferts faits au mois t

$$\forall t \in[1..6], E_t=E_{t-1}+R_t-T_t$$

  • Écriture de la variable redondante sur les stocks mensuels :

Le nombre de drones en stock en fin de mois t est égal à ceux du mois t-1 moins les ventes réalisées au mois t plus les nouveaux drones produits au mois t en heures normales et en heures supplémentaires

$$\forall t \in[1..6], S_t=S_{t-1}-B_t+N_t+U_t$$

  • Contraintes sur les effectifs minimum et maximum dans l’atelier chaque mois :

$$\forall t \in[1..6], E_t \geqslant10$$

  • Contraintes sur le stock de sécurité :

$$\forall t \in[1..6], S_t \geqslant350$$

  • Contraintes de capacité de travail en heures normales :

Le nombre de drones produits en heures normales ne peut pas excéder la capacité totale de production des effectifs présents dans l’atelier

$$\forall t \in[1..6], N_t \leqslant\frac{7,5.22}{3,5}.E_t$$

  • Contraintes de capacité de travail en heures supplémentaires :

Le nombre de drones produits en heures supplémentaires ne peut pas excéder la capacité totale de production des effectifs en heures supplémentaires. A noter que les heures supplémentaires étant plus chères que les heures de travail en heures normales, le solveur va privilégier le choix des heures normales, avant de faire appel, chaque mois, si nécessaire, à des heures supplémentaires.

$$\forall t \in[1..6], U_t \leqslant\frac{25}{3,5}.E_t$$

Étape #5 : Objectif du problème

L’objectif est ici de minimiser l’ensemble des coûts sur la période des 6 mois, à savoir, les coûts des salaires (en heures normales et en heures supplémentaires), des nouvelles embauches, des transferts ainsi que les coûts de stockage. On obtient alors la formule suivante :

$$Min\sum_{t=1}^{6}{1\,850\;.\;E_t+15\;.\;3,5\;.\;U_t+2\,500\;.\;R_t+800\;.\;T_t+2\;.\;S_t}$$

4. Modélisation avec le solveur XLOPTIM

xloptim1

  • Définition des 4 variables de décision principales (avec leurs bornes) :

xloptim2 xloptim3 xloptim4 xloptim5

  • Ajout de la contrainte sur le stock de sécurité :

xloptim6

  • Fixation de l’objectif :

xloptim7

  • Calcul de la solution optimale :

xloptim8

  • qui donne la valeur de la fonction objectif optimale suivante :

xloptim9

5. Conclusion

Pour répondre à la demande anticipée de drones, OptiDrones devra embaucher 23 salariés (voir les variables de décision). Le coût total de ces embauches s'élèvera à 570 683 €. Le résultat affiché est optimal et obtenu après 2 secondes.

Cette étude de cas nous a permis de découvrir un exemple de problème de production. Ils sont fréquents dans les usines. Vous pouvez modifier la taille du problème et les hypothèses pour faire varier le problème et donc les solutions. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions suite à l'utilisation du solveur XLOPTIM®.